Målet med denna sida är att diskutera lämplig avkastnings- och risknivå i portföljen, givet en spending policy.¶

Vi börjar med att importera förväntade avkastningar per tillgångsklass. I detta fall använder vi rådata från en av LRFs motparter (Carnegie), med förväntad avkastning, volatilitet och korrelationer mellan tillgångsslag. Datan plottas nedan.

Dessa antaganden är centrala för alla kommande analyser, men det är viktigt att betona att de också är svåra att göra. Förväntad avkastning, volatilitet och korrelationer är långsiktiga bedömningar, ofta med en horisont på över 10 år, och ska inte tolkas som en prognos för nästa år eller andra kortsiktiga marknadsrörelser.

Antagandena fyller istället funktionen att skapa en konsekvent och strukturerad grund för portföljsimuleringar över tid. Hur vi väljer att sätta dessa parametrar påverkar resultaten i hög grad, vilket innebär att alla slutsatser behöver läsas i ljuset av de underliggande antagandena.

Datan plottas nedan:

Vi vill däreftera undersöka hur vi kan kombinera dessa tillgångsklasser i olika portföljer för att analysera förväntad avkastning och risk (volatilitet). Detta gör vi genom att beräkna både portföljens förväntade avkastning och dess volatilitet utifrån tillgångarnas respektive egenskaper och inbördes samband.

Förväntad portföljavkastning¶

Den förväntade avkastningen för en portfölj definieras som den viktade summan av tillgångarnas förväntade avkastningar:

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[R_p] &= \sum_{i=1}^{n} w_i \mu_i \\ &= \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\mu} \end{aligned} $$

där
$w_i$ = vikt för tillgång (i)
$\mu_i$ = förväntad avkastning för tillgång (i).

Förväntad portföljvolatilitet¶

Portföljens volatilitet beräknas utifrån tillgångarnas inbördes kovarianser:

$$ \begin{aligned} \sigma_p &= \sqrt{\mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}} \end{aligned} $$

där
$\sigma_p$ = portföljens volatilitet
$\mathbf{w}$ = viktvektor
$\Sigma$ = kovariansmatrisen mellan tillgångarna.

För att säkerställa rimliga och diversifierade portföljer har vi lagt in explicita bivillkor för viktintervallen. Dessa begränsar hur mycket varje tillgångsgrupp får utgöra av portföljen:

  • Räntor: 13–73 %
  • Aktier: 15–35 %
  • Alternativa investeringar: 10–50 %
  • Enskild tillgång: antingen 0 eller minst 5 %

Bivillkor är inte självklart enkelt att optimera mot, så vi har för tidsbesparings skull gjort en enkel heuristik.

Val av portföljer utifrån mål för förväntad avkastning¶

I detta steg väljer vi ut portföljer som ligger nära ett antal fördefinierade mål för förväntad årsavkastning. För varje målavkastning söker vi bland de simulerade portföljerna efter dem som uppfyller följande kriterier:

  1. Portföljen ska ligga inom en given toleransnivå kring mål-avkastningen (här ±5 punkter).
  2. Om inga portföljer ligger inom toleransen, väljer vi i stället bland portföljer som har högre avkastning än målvärdet.
  3. Bland de portföljer som uppfyller kravet väljer vi den med lägst volatilitet, dvs. den mest risk­effektiva portföljen för respektive mål.

På så sätt identifierar vi fyra portföljer med olika avkastningsmål (5.0 %, 5.5 %, 6.5 % och 7.0 %) och hämtar både deras simulerade avkastning, deras volatilitet samt de tillhörande vikterna:

Portfölj 1

Målavkastning: 5.0%
Simulerad: 4.96%
Volatilitet: 6.71%

Tillgång Vikt (%)
Statsobligationer 30.6
Statsskuldväxlar 22.4
Private Equity 20.1
EM aktier 18.7
Globala aktier 8.2

Portfölj 2

Målavkastning: 5.5%
Simulerad: 5.45%
Volatilitet: 7.74%

Tillgång Vikt (%)
Statsskuldväxlar 29.9
Private Equity 26.4
Kommersiella fastigheter 11.4
EM aktier 10.9
Svenska aktier 8.5
Statsobligationer 6.5
Hedgefonder 6.4

Portfölj 3

Målavkastning: 6.5%
Simulerad: 6.48%
Volatilitet: 10.19%

Tillgång Vikt (%)
Private Equity 36.0
Statsobligationer 30.5
Svenska aktier 25.3
EM aktier 8.2

Portfölj 4

Målavkastning: 7.0%
Simulerad: 6.96%
Volatilitet: 11.97%

Tillgång Vikt (%)
Private Equity 42.7
EM aktier 31.9
Krediter - HY 16.4
Statsskuldväxlar 9.0

Definition av spendingpolicyn¶

Vi tillämpar en hybridregel för utdelningar år för år:

$$ \text{Utdelning}_{t+1} = \alpha \cdot \text{Utdelning}_{t} + (1 - \alpha)\,\cdot\, s \cdot K_t $$

där
$\alpha$ = vikt på föregående års utdelning
$s$ = långsiktig uttagsprocent (≈ realt stabilt uttag)
$K_t$ = kapital vid slutet av år (t).


Regeln balanserar stabilitet och anpassning till kapitalbasens utveckling.

Simulering av framtida kapitalbanor och utdelningar¶

Metod

  • Startkapital: 7 000 MSEK
  • Period: 15 år
  • 4 portföljer (från föregående avsnitt, med olika avkastning och risk)
  • 4 stabiliseringsfaktore (alpha): 0,7, 0,8, 0,9 och 1
  • 10 000 simuleringar (Monte Carlo)
  • Månadsavkastningar dras ur en normalfördelning baserad på respektive portföljs förväntade avkastning och volatilitet (ett förenklat men tillräckligt bra antagande för denna typ av analys)

Så görs en enskild simulering (en kapitalbana)

  1. Man börjar med startkapitalet.
  2. För varje månad under 15 år slumpas en avkastning ur den valda portföljens månadsvisa normalfördelning.
  3. Kapitalet uppdateras månad för månad baserat på avkastningen och de uttag som görs enligt spendingpolicyn (årsuttaget fördelas jämt över årets 12 månader) .
  4. Efter 15 år har man ett fullt scenario för kapital, uttag och avkastning.

Upprepning: 10 000 möjliga framtider
Processen upprepas 10 000 gånger, där varje körning använder nya slumpade avkastningar. Det ger 10 000 kapitalbanor, 10 000 uttagsbanor och 10 000 avkastningsförlopp för varje portfölj–alpha-kombination.

Analys av resultaten
Genom att studera alla banor får vi en fördelning av möjliga utfall. Det gör det möjligt att bedöma:

  • sannolikheten att kapitalet växer eller faller,
  • hur stabil utdelningsnivån är över tid,
  • risken för att kapitalet förlorar köpkraft eller förbrukas,
  • skillnader mellan portföljer och alpha-nivåer i termer av uthållighet och risk.

Detta ger en mer heltäckande bild än enbart att studera förväntad avkastning och portföljvolatilitet, eftersom vi även behöver kombinera detta med verksamhetsfinansiering för LRF.

Kort om normalfördelningsantagandet¶

Månadsavkastningar antas vara normalfördelade. Det är ett förenklat men praktiskt antagande för denna typ av långsiktiga simuleringar. I verkligheten kan avkastningarna ha fetare svansar och volatilitet som varierar över tid, men modellen är tillräckligt för att ge ett beslutsunderlag i detta läge. Vid behov kan vi framåt förbättra modellen med exempelvis:

  • tjocksvansade fördelningar (t.ex. Student-t)
  • Scenarioanalyser (t ex covid, oljekris, finanskris, etc.)
  • block-bootstrap från historiska data

Tolkning av histogrammen över slutkapital¶

Figuren ovan visar fördelningen av slutkapital efter 15 år för samtliga portfölj–alpha-kombinationer. Varje histogram motsvarar ett scenario: raderna representerar de fyra portföljerna (med olika nivåer av avkastning och risk), medan kolumnerna visar de olika stabiliseringsfaktorerna α i spendingpolicyn.

Ett histogram visar hur ofta olika slutkapitalnivåer förekommer i de 10 000 simuleringarna. Varje stapel anger hur många scenarier som hamnar inom ett visst intervall av slutvärden. Ju högre stapel, desto fler simuleringar gav ett slutkapital i just det intervallet. "Hoovra" med musen för mer detaljer.

Den röda streckade linjen markerar startkapitalet på 7 BSEK. Om en stor del av histogrammets massa ligger till höger om denna linje betyder det att kapitalet i många simuleringar växer över perioden. Ligger mycket till vänster indikerar det högre sannolikhet för att kapitalet minskar.

Histogrammen gör det möjligt att bedöma spridningen i möjliga slututfall och jämföra hur portföljens risknivå och spendingpolicyns α påverkar kapitalets uthållighet.

Sammanfattning av slutkapital¶

Tabellen nedan sammanfattar resultatet av simuleringarna genom att visa medianvärde samt p10- och p90-percentiler för slutkapitalet i varje portfölj–alpha-kombination. Detta ger en översiktlig bild av både typiska utfall och spridningen mellan mer negativa och mer positiva scenarier.

Fördjupad analys av nedsiderisk¶

För att förstå riskbilden mer heltäckande behöver vi inte bara analysera förväntade banor och spridningen i slutkapital, utan även sannolikheten att kapitalet faller under vissa nivåer under perioden. Detta är särskilt viktigt eftersom kapitalet ska bära långsiktiga åtaganden och klara perioder med svag marknadsutveckling utan att utdelningarna blir instabila.

Vad diagrammet visar¶

Grafen visar månadsvis sannolikhet att kapitalet understiger olika nivåer av startkapitalet: 90 %, 70 %, 50 % och 30 %. För varje portfölj (rader) och varje α-nivå i spendingpolicyn (kolumner) ser vi hur många av de 10 000 simuleringarna som ligger under respektive nivå över tid.

En hög eller snabbt stigande kurva innebär ökad risk att kapitalet pressas ned, medan en låg och platt kurva indikerar att nedsiderisken är begränsad.

Viktigt att beakta: nominella belopp och köpkraft¶

Siffrorna avser nominellt kapital, vilket innebär att inflationen inte är bortjusterad i denna graf. I praktiken innebär det att den reala köpkraften sannolikt eroderas ytterligare över tid, vilket gör trösklarna mer ”tunna” än de ser ut här. Ett kapital som efter 15 år ligger kvar på t.ex. 7 BSEK har alltså lägre faktisk värde i reala termer.

Syftet med denna analys¶

  • Bedöma hur stor risken är att kapitalet, i nominella termer, faller under nivåer som kan vara kritiska.
  • Jämföra portföljer och stabiliseringsfaktorer utifrån deras nedsiderisk.
  • Identifiera portföljer där sannolikheten för kapitalförsvagning är strukturellt hög.
  • Komplettera bilden av kapitalets uthållighet genom att studera risksidorna över tid, inte bara slutvärden.

Alternativ vy: sannolikhet vid slutåret¶

För att komplettera nedsiderisk-analysen visar vi här ett alternativt, mer "kompakt" sätt att jämföra portföljerna. I stället för att följa sannolikheten månad för månad fokuserar vi enbart på år 15 och beräknar hur stor andel av simuleringarna som slutar under olika nivåer av startkapitalet (90 %, 70 %, 50 % och 30 %).

Denna heatmap gör det enklare att direkt jämföra portföljer och alpha-nivåer mot varandra. Ju mörkare färg, desto högre sannolikhet att kapitalet efter 15 år ligger under en viss tröskel. Det ger en snabb överblick över vilka portföljer som har störst risk för kapitalförsvagning och hur mycket stabiliseringsfaktorn påverkar utfallet.

Fokus på spending: utveckling och osäkerhet i årliga uttag¶

För att förstå hur robust spendingpolicyn är behöver vi inte bara analysera kapitalets utveckling, utan också hur själva uttagsnivåerna kan variera över tid. Det är dessa utdelningar som finansierar verksamheten, och deras stabilitet är därför central i bedömningen av portföljens lämplighet.

Grafen ovan visar så kallade fan charts för årliga uttag, en visualisering av osäkerhetsintervallet runt framtida utdelningsnivåer. Varje graf motsvarar en portfölj (rad) och en stabiliseringsfaktor α (kolumn).

Hur graferna ska tolkas¶

  • Medianlinjen (blå) visar det mest typiska utfallet för årliga uttag.
  • Det mörkare intervallet (P25–P75) visar de mittersta 50 % av simuleringarna – det ”normala” spannet.
  • Det ljusare intervallet (P10–P90) visar ett vidare intervall som fångar mer extrema, men fortfarande rimliga, utfall.

Ju bredare banden är, desto större variation i framtida utdelningar. Smala band innebär att policyn genererar stabilare uttag trots marknadens rörelser.

Vad detta säger oss¶

  • Portföljer med högre risk får generellt mer spridning i utdelningsnivåerna.
  • Höga α-värden (t.ex. 0,9) ger mer stabilitet över tid eftersom policyn reagerar långsammare på kapitalförändringar.
  • Lägre α-värden gör att uttagen snabbare anpassas uppåt eller nedåt – vilket kan öka variationen.

Variation i spending mellan år – 100 slumpmässiga uttagsbanor¶

För verksamhetens planering är det centralt att förstå hur mycket de årliga uttagen kan variera från ett år till nästa. Medianer och percentilband ger en bra sammanfattning, men de döljer den individuella variationen som faktiskt kan uppstå i enskilda framtidsscenarier. Därför visualiserar vi här 100 slumpmässigt valda uttagsbanor för varje portfölj–alpha-kombination.

Varje tunn grå linje representerar ett möjligt framtidsförlopp för årliga uttag över 15 år. Tillsammans visar de spridningen i hur spendingpolicyn slår igenom över tid givet både marknadsvariation och vald stabiliseringsfaktor. Den blå linjen visar medianutfallet som referens.

Vad vi kan se här¶

  • Högre α (t.ex. 0,9) ger betydligt jämnare linjer – spending ändras långsammare mellan år.
  • Lägre α gör att uttagen reagerar snabbare på kapitalförändringar, vilket leder till större variation mellan åren.
  • Portföljer med högre risk (längst ner i figuren) får synbart större spridning i uttagsbanorna.

Mått på spendingstabilitet¶

För att bedöma hur stabila uttagen är över tid beräknas två nyckelmått baserat på de årliga utdelningsbanorna.

1. Volatilitet i år-till-år-förändring (σ y/y)¶

Först beräknas den relativa förändringen mellan två års uttag:

$$ dP_t = \frac{U_t - U_{t-1}}{U_{t-1}} $$

Därefter beräknas standardavvikelsen i ( dP_t ) för varje simulering,

2. Median ”max cut”¶

För varje simulering identifieras den största negativa förändringen:

$$ \min_t(dP_t) $$

Detta är det värsta året i just den simuleringen.
Medianen av dessa värsta nedskärningar över alla simuleringar ger en bild av hur stor en ”typisk” maximal cut kan bli, även om den inte inträffar ofta.

Tabellen visar dessa två mått för alla portföljer och alpha-nivåer.

Sannolikhet för nedskärningar i uttag mellan olika år¶

För att få en tydligare bild visualiseras sannolikheten för olika nivåer av uttagsnedskärningar som heatmaps. I stället för att följa hela utdelningsbanor över tiden fokuserar dessa figurer på hur ofta uttagen faller med mer än en viss nivå från ett år till nästa.

Test av spendingpolicy på historiska perioder¶

Det kan vara intressant att komplettera simuleringarna med att studera faktiska historiska marknadsperioder. Genom att använda lång tidsserie-data, här Dow Jones från 1896, kan vi analysera hur olika marknadsmiljöer påverkar utvecklingen och därmed hur spendingpolicyn skulle ha fungerat över olika epoker. Nedan laddas data och plottas både månadsavkastningar och den kumulativa utvecklingen i log-skala som grund för vidare analys. Notera dock att detta förutsätter 100 % exponering mot aktiemarknad, vilket LRF inte har. LRF har i dagsläget inte tillgång till något bättre index (med tillräckligt lång tidsserie) men vi kollar på det...